-30-

-30-

Matematika Tentukan nilai stasioner, kemudian tentukan jenisnya nilai stasioner tersebut

[tex]f(x) = 2 {x}^{4} - 2 {x}^{2} [/tex]

Tentukan nilai stasioner, kemudian tentukan jenisnya nilai stasioner tersebut

[tex]f(x) = 2 {x}^{4} - 2 {x}^{2} [/tex]

f(x) = 2x⁴ – 2x² memiliki nilai-nilai stasioner sebagai berikut:

  • –½ di titik (–½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (½√2, –½) adalah titik balik minimum pertama,
  • 0 di titik (0, 0), berjenis: maksimum, sehingga (0, 0) adalah titik balik maksimum, dan
  • –½ di titik (½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (–½√2, –½) adalah titik balik minimum kedua.

Pembahasan

Nilai Stasioner dan Jenisnya

Diberikan fungsi: f(x) = 2x⁴ – 2x²

f(x) stasioner ketika f'(x) = 0.
⇒ f'(x) = 0
⇒ (2x⁴ – 2x²)' = 0
⇒ [2(x⁴ – x²)]' = 0
⇒ 2(x⁴ – x²)' = 0
⇒ (x⁴ – x²)' = 0
⇒ 4x³ – 2x = 0
⇒ 2x(2x² – 1) = 0
⇒ 2x = 0,  2x² = 1
⇒ x = 0,  x² = ½
⇒ x = 0,  x = ±√½
⇒ x = 0,  x = ±½√2
x = 0,  x = ½√2,  x = –½√2

Nilai stasioner untuk ketiga absis tersebut:

  • f(0) = 0
  • f(½√2) = 2(½√2)⁴ – 2(½√2)²
    ⇒ f(½√2) = 2(1/4) – 2(½)
    ⇒ f(½√2) = ½ – 1
    f(½√2) = –½
  • f(–½√2) = f(½√2) karena perpangkatannya genap.
    f(–½√2) = –½

Menentukan jenis nilai dan titik stasioner

Turunan kedua dari f(x):
f''(x) = (2x⁴ – 2x²)''
⇒ f''(x) = [2(4x³ – 2x)]'
⇒ f''(x) = 2(4x³ – 2x)'
⇒ f''(x) = 2(12x² – 2)
f''(x) = 24x² – 4

  • Untuk x = 0 di titik (0, 0):
    f''(0) = –4
    ⇒ f''(0) < 0
    Jenis nilai stasioner: maksimum
    Titik (0,0) adalah titik balik maksimum.
  • Untuk x = ½√2 di titik (½√2, –½):
    f''(½√2) = 24(½√2)² – 4 = 24(½) – 4 = 8
    ⇒ f''(½√2) > 0
    Jenis nilai stasioner: minimum
    Titik (½√2, –½) adalah titik balik minimum.
  • Untuk x = –½√2 di titik (–½√2, –½):
    f''(–½√2) = f''(½√2) = 8  (karena perpangkatannya genap)
    ⇒ f''(–½√2) > 0
    Jenis nilai stasioner: minimum
    Titik (–½√2, –½) adalah titik balik minimum.

[answer.2.content]