Tentukan nilai stasioner, kemudian tentukan jenisnya nilai stasioner tersebut
[tex]f(x) = 2 {x}^{4} - 2 {x}^{2} [/tex]
[tex]f(x) = 2 {x}^{4} - 2 {x}^{2} [/tex]
f(x) = 2x⁴ – 2x² memiliki nilai-nilai stasioner sebagai berikut:
- –½ di titik (–½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (½√2, –½) adalah titik balik minimum pertama,
- 0 di titik (0, 0), berjenis: maksimum, sehingga (0, 0) adalah titik balik maksimum, dan
- –½ di titik (½√2, –½), berjenis: minimum, sehingga (–½√2, –½) adalah titik balik minimum kedua.
Pembahasan
Nilai Stasioner dan Jenisnya
Diberikan fungsi: f(x) = 2x⁴ – 2x²
f(x) stasioner ketika f'(x) = 0.
⇒ f'(x) = 0
⇒ (2x⁴ – 2x²)' = 0
⇒ [2(x⁴ – x²)]' = 0
⇒ 2(x⁴ – x²)' = 0
⇒ (x⁴ – x²)' = 0
⇒ 4x³ – 2x = 0
⇒ 2x(2x² – 1) = 0
⇒ 2x = 0, 2x² = 1
⇒ x = 0, x² = ½
⇒ x = 0, x = ±√½
⇒ x = 0, x = ±½√2
⇒ x = 0, x = ½√2, x = –½√2
Nilai stasioner untuk ketiga absis tersebut:
- f(0) = 0
- f(½√2) = 2(½√2)⁴ – 2(½√2)²
⇒ f(½√2) = 2(1/4) – 2(½)
⇒ f(½√2) = ½ – 1
⇒ f(½√2) = –½
- f(–½√2) = f(½√2) karena perpangkatannya genap.
⇒ f(–½√2) = –½
Menentukan jenis nilai dan titik stasioner
Turunan kedua dari f(x):
f''(x) = (2x⁴ – 2x²)''
⇒ f''(x) = [2(4x³ – 2x)]'
⇒ f''(x) = 2(4x³ – 2x)'
⇒ f''(x) = 2(12x² – 2)
⇒ f''(x) = 24x² – 4
- Untuk x = 0 di titik (0, 0):
f''(0) = –4
⇒ f''(0) < 0
⇒ Jenis nilai stasioner: maksimum
⇒ Titik (0,0) adalah titik balik maksimum.
- Untuk x = ½√2 di titik (½√2, –½):
f''(½√2) = 24(½√2)² – 4 = 24(½) – 4 = 8
⇒ f''(½√2) > 0
⇒ Jenis nilai stasioner: minimum
⇒ Titik (½√2, –½) adalah titik balik minimum.
- Untuk x = –½√2 di titik (–½√2, –½):
f''(–½√2) = f''(½√2) = 8 (karena perpangkatannya genap)
⇒ f''(–½√2) > 0
⇒ Jenis nilai stasioner: minimum
⇒ Titik (–½√2, –½) adalah titik balik minimum.
[answer.2.content]